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  • Méthode des moments

    Formulaire de report

    Méthode des moments Méthode consistant à prendre comme Estimateur : $$T_n=\psi(\overline{X_n},\overline{X_n^2},\dots,\overline{X_n^p})\quad\text{ avec }\quad\psi:{\Bbb R}^p\to{\Bbb R}^p\text{ continue}$$
    • c'est une suite d'estimateurs fortement consistante de les Moments \(\psi(m_1(\theta),\dots,m_p(\theta))\)


    Exercices


    Définition.

    On retrouve la Série entière de l'exponentielle.

    L'espérance est la dérivée en \(0\).

    On a la variance via le moment d'ordre 2, qui est la dérivée seconde en \(0\).



    Développer la probabilité de tomber sur un entier en faisant une convolution.

    Identifier le Coefficient binomial.

    Reconnaître la Formule du binôme de Newton.



    La Moyenne empirique fonctionne.



    C'est un Modèle canonique \(\to\) il faut identifier \(\Omega\), l'espace des paramètres \(\Theta\) et les probabilités \({\Bbb P}_\theta\).


    Questions \(6)\) et \(7)\).

    Premier truc louche : les espérances ne sont pas égales aux variances, alors que \({\Bbb P}_\theta\) sont des lois de Poisson.

    La p-valeur peut être calculée via l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ce qui permet de conclure sur l'inefficacité du modèle.




    Tout se calculer assez vite par linéarité, et puisque le coeff qu'on a rajouté intervient dans le cas \(X=0\).




    Essayer d'isoler un paramètre et de l'exprimer uniquement en fonction des moments de \(X\).

    Le deuxième paramètre peut être approximé via l'approximation du premier.